高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素 ，及元素的“确定性、互异性 、无序性” 。

中元素各表示什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集
。

3. 注意下列性质：

（3）德摩根定律：

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题 。）

原命题与逆否命题同真
、同假；逆命题与否命题同真同假
。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B
，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一 ，多对一
，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则 、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

10. 如何求复合函数的定义域？

义域是_____________ 。

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x
、y；③注明定义域）

13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

14. 如何用定义证明函数的单调性？

（取值 、作差
、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

值是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数
。

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数 ，T是一个周期。）

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

注意如下“翻折 ”变换：

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

的双曲线 。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程 、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m
，n］上的最值
。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题 。

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法
、结构变换法）

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法） ，反函数法
，换元法，均值定理法 ，判别式法
，利用函数单调性法，导数法等
。）

如求下列函数的最值：

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α ，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

25. 你能迅速画出正弦、余弦 、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间
、对称点、对称轴吗？

（x
，y）作图象。

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围 。

28. 在解含有正 、余弦函数的问题时 ，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

图象？

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

“奇
”
、“偶”指k取奇、偶数。

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

31. 熟练掌握两角和 、差
、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

应用以上公式对三角函数式化简
。（化简要求：项数最少 、函数种类最少
，分母中不含三角函数，能求值 ，尽可能求值。）

具体方法：

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升
、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式
，注意运用代数运算 。

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边 、角转化，而解斜三角形？

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角
。）

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

34. 不等式的性质有哪些？

答案：C

35. 利用均值不等式：

值？（一正
、二定、三相等）

注意如下结论：

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法 、分析法
、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用 。

（移项通分 ，分子分母因式分解
，x的系数变为1，穿轴法解得结果
。）

38. 用“穿轴法 ”解高次不等式——“奇穿 ，偶切
”
，从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论 ，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

证明：

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题
，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

43. 等差数列的定义与性质

0的二次函数）

项 ，即：

44. 等比数列的定义与性质

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

解：

［练习］

（2）叠乘法

解：

（3）等差型递推公式

［练习］

（4）等比型递推公式

［练习］

（5）倒数法

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和
，使之出现成对互为相反数的项 。

解：

［练习］

（2）错位相减法：

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加
。

［练习］

48. 你知道储蓄 、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元 ，每期利率为r
，n期后，本利和为：

△若按复利 ，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元
，采用分期等额还款方式，从借款日算起 ，一期（如一年）后为第一次还款日
，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利） ，那么每期应还x元，满足

p——贷款数
，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加 ，分步相乘
，有序排列，无序组合 。

（2）排列：从n个不同元素中 ，任取m（m≤n）个元素
，按照一定的顺序排成一

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法 ，数量不大时可以逐一排出结果
。

如：学号为1
，2，3 ，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）

A. 24 B. 15 C. 12 D. 10

解析：可分成两类：

（2）中间两个分数相等

相同两数分别取90
，91，92 ，对应的排列可以数出来，分别有3
，4，3种 ，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况

51. 二项式定理

性质：

（3）最值：n为偶数时
，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

表示）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

的和（并） 。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生 ”叫做A
、B互斥。

（6）对立事件（互逆事件）：

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响 ，这样的两个事件叫做相互独立事件
。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法
，即

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品 ，6件正品
，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品
”和“三件都是次品”

（4）从中依次取5件恰有2件次品 。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

分清（1）、（2）是组合问题 ，（3）是可重复排列问题
，（4）是无重复排列问题
。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法 、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样 ，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分
，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样 ，主要用于总体中有明显差异
，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率 ，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差 。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图
。

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛
，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量 。

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变
。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行 。

（7）向量的加
、减法如图：

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一组基底
。

（9）向量的坐标表示

表示。

57. 平面向量的数量积

数量积的几何意义：

（2）数量积的运算法则

［练习］

答案：

答案：2

答案：

58. 线段的定比分点

※. 你能分清三角形的重心、垂心 、外心
、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：

线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ
，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O ，连AO
，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求 。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义 ，并指出所求作的角
。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

［练习］

（1）如图
，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线 。

（2）如图 ，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8
，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°
。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60° ，PD⊥面ABCD
，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小 。

（∵AB∥DC ，P为面PAB与面PCD的公共点
，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）

61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点 ，点与线
，点与面，线与线 ，线与面，面与面间距离
。

将空间距离转化为两点的距离
，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法 ，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中
，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________ 。

62. 你是否准确理解正棱柱 、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形 ，顶点在底面的射影是底面的中心
。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

它们各包含哪些元素？

63. 球有哪些性质？

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此
，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角 ，它是线面成角；α为经度角
，它是面面成角 。

（5）球内接长方体的对角线是球的直径
。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

积为（ ）

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（2）直线方程：

65. 如何判断两直线平行
、垂直？

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较 。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理 ”。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

68. 分清圆锥曲线的定义

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时 ，消元后得到的方程
，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制
。（求交点，弦长 ，中点，斜率
，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切 。

72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法
”
。

答案：

73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a ，b）成中心对称
，设A（x，y）为曲线C上任意一点 ，设A'（x'
，y'）为A关于点M的对称点。

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围 。

（直接法、定义法 、转移法
、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线 ，在可行域内平移直线
，求出目标函数的最值
。

高一数学知识点总结

初中数学知识

　1.基本定义：

　⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

　⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

　⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

　⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

　⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

　2.基本性质：

　⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定 ，这个性质叫做三角形的稳定性.

　⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等
，对应角相等.

　3.全等三角形的判定定理：

　⑴边边边()：三边对应相等的两个三角形全等.

　⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

　⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

　⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

　⑸斜边 、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

　4.角平分线：

　⑴画法：

　⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

　⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

　5.证明的基本方法：

　⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角
、对顶

　角、角平分线 、中线
、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)

　⑵根据题意 ，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.

　⑶经过分析
，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

初中数学必备知识

　1.基本概念：

　⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠 ，直线两旁的部分能够互相

　重合
，这个图形就叫做轴对称图形.

　⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一

　个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称.

　⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线
，叫做这

　条线段的垂直平分线.

　⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫

　做腰，另一条边叫做底边 ，两腰所夹的角叫做顶角
，底边与腰的夹角叫做

　底角.

　⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

　2.基本性质：

　⑴对称的性质：

　①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一

　对对应点所连线段的垂直平分线.

　②对称的图形都全等.

　⑵线段垂直平分线的性质：

　①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

　②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

　⑶关于坐标轴对称的'点的坐标性质

初中数学重点知识

　一)运用公式法：

　我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式 。于是有：

　a2-b2=(a+b)(a-b)

　a2+2ab+b2=(a+b)2

　a2-2ab+b2=(a-b)2

　如果把乘法公式反过来 ，就可以用来把某些多项式分解因式
。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

　(二)平方差公式

　1.平方差公式

　(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)

　(2)语言：两个数的平方差
，等于这两个数的和与这两个数的差的积 。这个公式就是平方差公式
。

　(三)因式分解

　1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式 ，再进一步分解。

　2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止 。

　(四)完全平方公式

　(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来
，就可以得到：

　a2+2ab+b2 =(a+b)2

　a2-2ab+b2 =(a-b)2

　这就是说，两个数的平方和 ，加上(或者减去)这两个数的积的2倍
，等于这两个数的和(或者差)的平方。

　把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式
。

　上面两个公式叫完全平方公式。

　(2)完全平方式的形式和特点

　①项数：三项

　②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同 。

　③有一项是这两个数的积的两倍
。

　(3)当多项式中有公因式时 ，应该先提出公因式
，再用公式分解。

　(4)完全平方公式中的a 、b可表示单项式，也可以表示多项式 。这里只要将多项式看成一个整体就可以了
。

高中必修三数学知识点总结

高一数学必修1第一章知识点总结

一
、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性,

(2) 元素的互异性,

(3) 元素的无序性,

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员} ，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来
，写在大括号内表示集合的方法 。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4） Venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二 、集合间的基本关系

1.“包含 ”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合
。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等
”关系：A=B (5≥5 ，且5≤5
，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集 ，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集 。

有n个元素的集合
，含有2n个子集，2n-1个真子集

三
、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’） ，即A B=｛x|x A
，且x B｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’） ，即A B ={x|x A
，或x B})．

设S是一个集合，A是S的一个子集 ，由S中所有不属于A的元素组成的集合
，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作 ，即

CSA=

韦

恩

图

示

性

质 A A=A

A Φ=Φ

A B=B A

A B A

A B B

A A=A

A Φ=A

A B=B A

A B A

A B B

(CuA) (CuB)

= Cu (A B)

(CuA) (CuB)

= Cu(A B)

A (CuA)=U

A (CuA)= Φ．

例题：

1.下列四组对象 ，能构成集合的是 （ ）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a
，b，c }的真子集共有 个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0} ，则M与N的关系是 .

4.设集合A= ，B=
，若A B，则 的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验 ，已知物理实验做得正确得有40人
，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人 ，则这两种实验都做对的有 人
。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ
，A∩C=Φ，求m的值

二 、函数的有关概念

1．函数的概念：设A
、B是非空的数集 ，如果按照某个确定的对应关系f
，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 ，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)
，x∈A．其中，x叫做自变量 ，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么
，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中 ，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标
，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x
，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来 ，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y为坐标的点(x
，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法：

B
、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间 、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地 ，设A
、B是两个非空的集合
，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x ，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射 。记作f：A→B

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集
，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数
。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 ，x2
，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1
，x2，当x1<x2 时 ，都有f(x1)＞f(x2)
，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性 ，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的
，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D ，且x1<x2；

○2 作差f(x1)－f(x2)；

○3 变形（通常是因式分解和配方）；

○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关
，其规律：“同增异减 ”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)
，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)
，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0 ，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0
，则f(x)是奇函数．

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9 、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法 ，要求两个变量之间的函数关系时
，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2 利用图象求函数的最大（小）值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b
，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减 ，在区间[b
，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴ ⑵

2.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _

3.若函数 的定义域为  ，则函数 的定义域是

4.函数 
，若 ，则 =

6.已知函数  ，求函数 
， 的解析式

7.已知函数 满足 ，则 = 。

8.设 是R上的奇函数 ，且当 时, ,则当 时 =

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴ (2)

10.判断函数 的单调性并证明你的结论．

11.设函数 判断它的奇偶性并且求证： ．

高中必修三数学知识点总结

在日常过程学习中
，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字 ，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点 。还在苦恼没有知识点总结吗？以下是我收集整理的高中必修三数学知识点总结
，欢迎阅读与收藏
。

　第一章 算法初步

　1.1.1

　算法的概念

　算法的特点:

　(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止 ，不能是无限的.

　(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果
，而不应当是模棱两可.

　(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤 ，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤
，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步 ，并且每一步都准确无误
，才能完成问题.

　(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

　(5)普遍性：很多具体问题 ，都可以设计合理的算法去解决
，如心算
、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

　1.1.2

　程序框图

　(一)程序构图概念：程序框图又称流程图，是一种用规定图形 、流程线及文字说明来准确
、直观地表示算法的图形。

　(二)构成程序框的图形符号及其作用

　学习这部分知识的时候 ，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

　1 、使用标准的图形符号 。

　2
、框图一般按从上到下、从左到右的方向画
。

　3 、除判断框外
，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号 。

　4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否
”两分支的判断 ，而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断
，有几种不同的结果
。

　5
、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

　(三)、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构 、条件结构
、循环结构 。

　1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间 ，框与框之间是按从上到下的顺序进行的
，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构
。

　顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来 ，按顺序执行算法步骤。如在示意图中
，A框和B 框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后 ，才能接着执 行B框所指定的操作 。

　2 、条件结构：

　条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

　条件P是否成立而选择执行A框或B框
。无论P条件是否成立
，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框 ，也不可能A框
、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框 。

　3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始
，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况 ，这就是循环结构
，反复执行的处理步骤为循环体，显然 ，循环结构中一定包含条件结构
。循环结构可细分为两类：

　(1) 、一类是当型循环结构
，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时 ，执行A框
，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立 ，如果仍然成立
，再执行A框，如此反复执行A框 ，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框
，离开循环结构。

　(2)
、另一类是直到型循环结构，如下右图所示 ，它的功能是先执行
，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立 ，则继续执行A框
，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框 ，离开循环结构 。

　注意：1循环结构要在某个条件下终止循环
，这就需要条件结构来判断
。因此，循环结构中一定包含条件结构 ，但不允许“死循环”。

　2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量 。计数变量用于记录循环次数
，累加变量用于输出结果
。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次 ，计数一次。

　1.2.1

　输入、输出语句和赋值语句

　3 、赋值语句

　(1)赋值语句的一般格式；

　(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;

　(3)赋值语句中的“= ”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的 。赋值号的左右两边不能对换
，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;

　(4)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式 ，右边表达式可以是一个数据
、常量或算式;

　(5)对于一个变量可以多次赋值
。

　注意：①赋值号左边只能是变量名字
，而不能是表达式。如：2=X是错误的 。②赋值号左右不能对换。如“A=B
”“B=A”的含义运行结果是不同的
。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解 、解方程等)④赋值号“= ”与数学中的等号意义不同 。

　分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件
”表示判断的条件 ，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2 ”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF表示条件语句的结束
。计算机在执行时
，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合 ，则执行THEN后面的语句1;若条件不符合
，则执行ELSE后面的语句2 1.3.1辗转相除法与更相减损术。

　1、辗转相除法 。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

　(1)：用较大的数m除以较小的数n得到一个商≠0 ，则用除数n除以余数则用除数RRS0和一个余数R0;

　(2)：若0=0
，则n为m，n的最大公约数;若0R0得到一个商S1和一个余数R1;RRR；

　(3)：若1=0 ，则1为m，n的最大公约数;若1≠0
，R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2;依次计算直至Rn=0，此时所得到的Rn?1即为所求的最大公约数
。

　2
、更相减损术

　我国早期也有求最大公约数问题的算法 ，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之
，不可半者，副置分母?子之数 ，以少减多
，更相减损，求其等也 ，以等数约之 。

　翻译为：(1)：任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数
。若是
，用2约简;若不是，执行第二步。(2)：以较大的数减去较小的数 ，接着把较小的数与所得的差比较
，并以大数减小数 。继续这个操作，直到所得的数相等为止 ，则这个数(等数)就是所求的最大公约数
。 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数。

　3、辗转相除法与更相减损术的区别：

　(1)都是求最大公约数的`方法，计算上辗转相除法以除法为主
，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少 ，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显 。

　(2)从结果体现形式来看
，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。

　1.3.2

　秦九韶算法与排序

　1 、秦九韶算法概念：

　f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

　f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

　=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

　求多项式的值时 ，首先计算最内层括号内依次多项式的值
，即v1=anx+an-1

　然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

　这样 ，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题
。

　第二章 统计

　2.1.1

　简单随机抽样

　1.总体和样本

　在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体的有关性质
，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。

　2.简单随机抽样 ，也叫纯随机抽样 。就是从总体中不加任何分组
、划类、排队等
，完全随机地抽取调查单位
。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立 ，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础 。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法
。

　3.简单随机抽样常用的方法：

　(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中
，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度 。

　4.抽签法:

　(1)给调查对象群体中的每一个对象编号;

　(2)准备抽签的工具，实施抽签；

　(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查
。

　例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

　5.随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动 。

　2.1.2

　系统抽样

　1.系统抽样(等距抽样或机械抽样)：把总体的单位进行排序 ，再计算出抽样距离
，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本
。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)

　前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的 ，即不存在某种与研究变量相关的规则分布 。可以在调查允许的条件下
，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别 ，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律
，且这种循环和抽样距离重合
。

　2.系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低 ，实施也比较简单 。更为重要的是
，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话 ，使用系统抽样可以大大提高估计精度
。

　2.1.3

　分层抽样

　1.分层抽样(类型抽样)：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别 、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本
，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

　两种方法：

　(1).先以分层变量将总体划分为若干层 ，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取 。

　(2).先以分层变量将总体划分为若干层
，再将各层的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本
。

　2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体 ，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体
，所有的样本进而代表总体。

　分层标准：

　(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准 。

　(2)以保证各层内部同质性强
、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量
。

　(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。

　3.分层的比例问题：

　(1)按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法 。

　(2)不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少 ，此时采用该方法
，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较
。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理 ，调整样本中各层的比例
，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 。

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